Борис Рощин родился в Риге. Во время первой мировой войны семья Рощиных эвакуировалась вглубь России. В 1917 году Борис окончил театральную студию в Москве. Работал актером в московских театрах, с 1921 года — режиссером и художественным руководителем в театрах Москвы, Владивостока, Ташкента, Ашхабада. В 1936 году был главным режиссером и художественным руководителем Свердловского Театра рабочей молодёжи.
В 1937 году приглашён на должность главного режиссёра в Волковский театр, где отработал всего один сезон. В Ярославле Рощин поставил только три спектакля: «Оптимистическую трагедию» В. Вишневского (премьера — сентябрь 1937), «Грозу» А. Н. Островского (премьера 15 января 1938) и «Анну Каренину» по Л. Толстому (премьера 26 апреля 1938).
Перед войной руководил Интернациональным театром в Москве.
После окончания войны Рощин возвратился в Ригу. В середине декабря 1946 года он был назначен директором и художественным руководителем Даугавпилсского драматического театра. Эти должности Рощин совмещал до июня 1947 года, когда, по его личной просьбе, был освобожден от обязанностей директора и до 1952 года был только главным режиссером театра. За короткий срок он сумел создать в театре коллектив единомышленников, способный решать разнообразные творческие задачи. Рощин поставил на сцене театра несколько десятков спектаклей, среди которых лучшими были «Любовь Яровая», «Гроза», «Коварство и любовь», «Семья», «Егор Булычов и другие». Большое внимание он уделял музыкальному оформлению своих спектаклей, некоторые из которых строил как народные лубочные картинки — с музыкой, песнями, танцами и массовыми гуляниями. По окончании сезона 1947−1948 годов Даугавпилсский русский драматический театр был признан лучшим периферийным театром республики.
Рощину в 1947 году было присвоено звание Заслуженного артиста, в 1950-м — Заслуженного деятеля искусств Латвийской ССР.
В 1952 году Рощину предложили возглавить Латвийский Театр музыкальной комедии. В 1955—1956 он работал главным режиссёром Воронежского театра музыкальной комедии, где осуществил постановки оперетт: «Золотая долина» Исаака Дунаевского, «Летучая мышь» Иоганна Штрауса, «Сильва» Имре Кальмана и другие. Позже работал в театрах Ленинграда, Харькова и других городов.
В начале 1960-х было принято решение по реорганизации Даугавпилсского драматического театра в музыкально-драматический с латышской и русской труппами, симфоническим оркестром, оперной и опереточной труппами, хором, балетом. Руководить этим громадным коллективом пригласили Рощина. Он успел поставить «Интервенцию», «Оптимистическую трагедию», «Марицу».
В мае 1963 Рощин неожиданно скончался в Москве, куда приезжал погостить к сыну. Похоронен на Лесном кладбище в Риге.
После смерти Рощина театр в Даугавпилсе был закрыт.